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CHAPTER
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ι
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10 유한 요소법 입문
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제6장에서, 우리는 구조물을 구조 요소들의 결합으로 생각함으로써 단순 프레임 구조의 강
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성행렬을 구할 수 있었다. 구조이론으로부터 알려진 요소의 끝에서의 힘과 모멘트를 사용
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하여, 요소들 사이의 결합부는 변위 구속(COmPatability)으로 연관되고, 결합부에서의 힘과
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모멘트는 평형조건을 부과함으로써 구해진다.
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유한 요소법에서도 똑같은 과정을 따르지만 컴퓨터를 사용한 계산을 위하여 더욱 체
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계적으로 되어진다. 비록 매우 적은 요소를 가진 구조에 대해서는 제6장의 기술한 방
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법에 의하여 간단하게 해석될 수 있지만, 많은 요소로 된 대형 구조물에 대해서 기장
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(bookkeeping)하는 것은 곧 해석자의 인내를 넘어서게 된다. 유한 요소법에서는, 요소좌표
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와 힘은 전체 좌표로 변환되어지고 전체 구조물의 강성행렬은 공통의 방향을 가진 전체 좌
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표에서 나타내어진다.
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유한 요소법에서 구해지는 정확도는 진동 모드 형태를 나타낼 수 있는가에 달려 있다.
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구조물의 결합부나 코너부 사이에 오직 하나의 유한 요소를 사용하면 정적 처짐곡선이 최
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저차의 동적 모드 형상에 대한 좋은 근사가 되기 때문에 최저차 모드에 대하여 좋은 결과
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를 낳는다. 고차 모드에 대해서는 구조 결합부 사이에 다수의 요소가 필요하다. 이것은 대
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형 행렬을 낳게 되고 계의 고유값과 고유 벡터에 대하여 풀이하는 데 컴퓨터가 필수적으로
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되도록 한다.
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본 장에서는 독자들에게 유한 요소법의 기본 개념을 소개하고, 동적 문제를 위한 운동
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방정식을 완성하기 위하여 상당 질량 행렬식의 전개를 포함하고 있다.
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이 곳에서는 단지 축 요소와 보 요소와 같은 구조용 요소에 대해서만 논의 한다. 평판과
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셸(ShenS)의 취급을 위해서는 독자들은 다른 참고서를 참조하기 바란다.
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IOl丄 요소강성 및 요소질량
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축 요소 단순지지 끝단으로 된 요소는 오직 축방향 힘만을 지지할 수 있기 때문에, 그러므
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로 스프링과 같은 작용을 하게 된다. 그림 10丄1은 고정된 벽에 힘 F를 받으면서 단순지지
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330 아IaPterlO 유한요소법 입문
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F = ku
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E시 t FI
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F = \EA/l、U
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그림 10.1.1 그림 10.1.2
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그림 10.1.3
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된 스프링과 균일봉을 보여준다. 두 경우에 대한 힘-변위 관계식을 단순히 나타내면 다음
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과 같다.
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M링 f=ku
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EA
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균일봉 F = U
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(10.1.1)
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일반적으로, 이들 축방향 요소들은 양단의 변위를 가능하게 한 핀으로 연결된 구조의 일
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부가 될 수 있다. 유한 요소법에서는 요소의 양단에서의 변위와 힘은 적절한 부호로서 간주
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되어질 수 있다. 그림 10丄2에는 변위 싸, 均와 힘 F1, F2 모두 양의 방향으로 명시된 축방
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향 요소를 보여준다. 만일 우리가 힘-변위 관계를 강성행렬로서 나타내면 방정식은 다음
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과 같다.
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(10.1.2)
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강성행렬의 제 1 행의 요소는 그림 10.1.3에 보인 것과 같이 Wl = I과 w2 = 0일 때 양단에
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서의 힘을 표시 한다. 그러므로 Fl — Aw1 이고 F2 — -이다.
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마찬가지로, W2 = 1 및 Wl=O으로 놓음으로써, 그림 10.1.4에서와 같이 Fl = -加2이고
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F2 = ku2를 얻는다. 그러므로 식 (10.1.2)는 다음 식과 같이 된다.
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= k 1
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-1
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(10.1.2)
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그림 10.1.4
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ιo.ι 요소강성 및 요소질량 331
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만일 스프링이 균일봉으로 바뀌면, k = AE∣lo∖ 되고 식은 다음과 같다.
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FlI _ EA∖ 1
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f2J=-TL-I IJbZj (10.1.3)
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그러므로 이 식들은 축 요소에 대한 강성행렬을 축 요소의 방향에 관계없이 축 좌표 Wz와
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축방향 힘 乃의 항으로 정의한 것이다.
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축 요소에 대한 모드 형상과 질량행렬 축요소의 두 끝이 Wl과 w2로 이동되면, 임의 점의 변
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위 ξ = x∕/는 그림 10.1.5(a)에서 보는 것과 같이 직선의 형태로 가정되어진다. 그리하여 변
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위는 그림 l(λl.5(b)에서 보여지는 두 개의 모드 형상의 중첩이 된다. 그러면 정규화된 모
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드 형상은 다음과 같다.
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φ1 = (1 — ξ) 그리고 φ2 = ξ (10.1.4)
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질량행렬은 W를 두 모드 형상의 합으로서 표현한 후 운동 에너지를 위한 식을 쓰게 되면
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구해진다.
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U = (I- ξ>1 + ξu2 (10.1.5)
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이 때 단위길이당 균일 질량 분포 끼을 가정한다.
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I f' IfI 2
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T= - U2 m dx = -m∖ [(1 - L)UI + ξiι^ldξ
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JO JO (10.1.6)
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1 7 1 .2 1 . . 1 .2∖
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= 引지( j퍼 + 3UjU2 + 5이
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그림 10.1.5
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332 아IaPterlo 유한요소법입문
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라그랑즈 방정식에 일반화된 질량은 다음 식과 같으므로
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d_ ∂T
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dt ∂ui
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다음의 식을 구할 수 있다.
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d_ ∂T
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dt ∂ui
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— ml∖ + 1 ..引2,1 ..
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3
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+4 으="미 dt ∂u2
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1 ..引1
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I 나
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이로부터 축 요소에 대한 질량행렬을 다음과 같이 구할 수 있다.
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1 2
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ml {2 1
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^6
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또한 질량행렬의 각 항은 다음 식으로부터 구할 수 있다.
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mij
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J φ↑φj dm
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(10.1.7)
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I 그림 10丄6에 보인 두 개의 단면적을 가진 봉의 길이방향 진동에 관한 운동 방정식을 I
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! 구하라.
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2 3
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그림 10.1.6
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I WS 결합부를 1,2 및 3으로번호를부여하면,두 개의축방향 요소1-2와2-3을
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너 얻게 되고 변위는 G u2 및 內가 된다. Wl은 0이지만, 우선 우리는 그것을 구속시키지
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서 않고나중에그것에 0의값을 부여한다.
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식 (10丄7)과 (10.1.3)으로부터 요소질량 및 요소강성 항들은 다음과 같다:
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10.1 요소강성 및 요소질량 333
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kb
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(10.1.8) -
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(10.1.9) -
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1
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2
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너 이 때 소 = EAa∕la9 kb = EAb∕lb, Ma = mala 및 Λζ = mzΛ이다.
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요소행렬들은 공통좌표 物를 가지고 그들을 중첩시킴으로써, 다음과 같은 3 × 3행 I
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! 렬로조합될수있다:
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질량행렬 }
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O
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1 -1
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-1 1요소 b：
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강성행렬
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W2 Ma 0% 2Λ쓰 + 씨
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Mb
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0 Mb
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%
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— '(
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-ka 0
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-Eg ka + kb ~kb { Ul
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0 % kb u3
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우리는 이제 강성행렬은 특이(SingUlar)행렬이고, 역행렬이 없다는 데 주목하자. 이것
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은 변위에 제한이 없었기 때문에 예상되었던 것이다. 강성행렬의 제 1 행과 제3행은 강
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성행렬에서 나타나 있듯이 ka(ul - u2) = kb(u2 - u3) = 0이 된다. 이것은 좌표들 사이에
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서 상대운동이 일어나지 않는 것을 의미하고, 강체 이동에 해당되는 상태이다.
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만일 Ml=O이 되도록 1 인 점을 고정시키면, 행렬의 제 1 열은 없어질 수 있다. 두 개
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단면을 가진 봉의 길이방향 진동에 관한 제2열 및 제3열은 다음 식으로 되어진다.
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Ir 2(Ma + Mb)
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6 L Mb
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Mql 이 +
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2Mb]{u3] 수
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(k1 + kb) -kh
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~kb kb
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특수한 경우 만일 Aa=Ab = A, ζ = ζ = IL이고 Ma = Mb = 이 면, 앞의 문제는 전체 길
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이 L이고, 전체 질량 M인 균일봉 문제가 되고, 중간 지점에 좌표를 가지고 자유단을 가진 2
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자유도계로 풀이될 수 있다. 그러면 앞의 문제의 방정식은 다음과 같이 된다.
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M∏4 llp2l + 2EAΓ 2 -l"∣fw2l = fol
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지_1 2jU3∫ -L-L-I 1」Uj = IOj
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만일 우리가 λ = ω2ML∕24EA로 두면, 고유 진동수를 구하기 위한 특성 방정식은 다음과
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같다.
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(2 — 4λ) -(1 + λ) _
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_(1 + λ) (1 - 2λ)
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334 ChaPterlo 유한 요소법 입문
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또는
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A2- 10 1 수
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■y λ - - = 0
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그 해는 다음과 같다.
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_ I 0.1082
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λ = 11.3204 ω —
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1.6115
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5.6293
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IEA
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MZ
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IEA
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ML
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길이방향 진동에서 균일봉의 고유 진동수는 알려져 있고, 식 ωz = (2n+l)(√2)√EA/ML
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으로 주어져 있다. 처음의 두 모드에 대하여 이 방정식으로부터 계산한 결과는 다음과 같다.
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1.5708
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ω —
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4.7124
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^EA
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IEA
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X7Z
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둘 사이를 비교하면 2자유도 유한 요소 모델의 결과와 연속 모델의 결과 사이의 일치는
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1 차 모드에 대해서는 2.6% 높고 2차 모드에 대해서는 19.5% 높게 나타난다. 세 개 요소 모
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델은 물론 더욱 가까운 일치된 값을 주리라고 기대되어 진다.
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변수의 성질 변수의 성질 문제에 대한 한 가지 단순한 접근은 짧은 길이를 가진 많은 요
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소를 사용하는 것이다. 그러면 각각의 요소에 대한 질량과 강성의 차이는 매우 작고 무시될
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수 있다. 그러면 문제는 각각의 요소에 대하여 균일한 질량과 강성을 가진 문제로 되어 이
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러한 항들이 적분의 밖으로 옮겨 질 수 있는 상당히 단순한 문제로 된다. 물론 많은 수의 요
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소는 큰 자유도의 문제도 이끌어낼 것이다.
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컴퓨터 프로그램 프로그램 bar.m은 외팔봉에 대한 고유 진동수를 유한 요소법에 의하여
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결정함으로써 계산하는 MATLAB®으로 쓰여진 파일이다. 그것은 요소들이 다른 성질을 가
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질 수 있도록 허락하기 때문에, 이 프로그램은 변화하는 성질을 가진 봉을 모델링하는 데
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사용되어질 수 있다. 이 프로그램은 사용자로 하여금 봉의 길이, 요소의 수, 각 요소의 질
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량, 각 요소의 탄성계수 및 각 요소의 단면적 등을 입력하도록 요구한다. 그러면 모델에 대
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한 질량행렬과 강성행렬을 구성하게 된다. 이 행렬이 3 X 3인 경우에 대해서는 식 (10.1.8)
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과 (10丄9)에 주어져 있다. 이들로부터 동행렬을 구성한다. 고유 진동수는 동행렬의 고유
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값으로부터 구해진다. 이 문제에 대한 더 자세한 정보는 부록 F를 참고하라.
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ιo.2 보요소에 대한 강성 및 질량 335
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10■기 보 요소에 대한 강성 및 질량
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보 강성 만일 요소의 끝단이 인접 구조에 단순지지되어 있지 않고 강하게 연결되어 있다
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면, 요소는 결합부에서 모멘트와 축방향 힘이 작용하는 보와 같이 행동할 것이다. 일반적으
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로, 상대 축방향 변위 U2 - WI은 보의 축방향 변위 V에 비하여 작게 될 것이고 0으로 가정할
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수 있다. 보에 작용하는 힘과 모멘트뿐만 아니라 축방향 힘들도 고려되어야 할 경우에는 다
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음에 보여주듯이 보 강성행렬에 더하는 것은 간단한 일이다.
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보 요소에 대한 국부 좌표계는 양단에서는 오직 축방향 변위와 회전이다. 우리는 이 토
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론에서는 오직 평면구조만을 고려하고, 각각의 결합부는 축방향 변위 V와 회전 0를 하게 되
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고 네 개의 좌표 v1, 01 과 v2, 仏를 가져온다. 이들 좌표계의 양의 의미는 임의이지만, 컴퓨터
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의 계산을 목적으로 그림 10.2.1 의 선도가 대부분의 구조해석 공학자들에게 받아들여지는
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것이다. 힘과 모멘트의 양의 의미 역시 같은 선도를 따른다.
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앞서의 변위들은 그림 10.2.2에 나타난 φ1(x), φ2(x), φ3W 및 少心)인 네 가지 모드 형상
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의 중첩이라고 생각되어질 수 있다. 두 끝단에서 요구되는 힘과 모멘트는 제6장에서 구하
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보 변위 및 힘의 양의 방향
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그림 10.2.1
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그림 10.2.2
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336 아IaPterIO 유한요소법 입문
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였고, 그림 10.2.3에 계수 EIlf을 생략한 후 나타내었다. 이 그림으로부터 곧 힘-강성 관계
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식을 구할 수 있다.
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(10.2.1)
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강성을 구하기 위한 식 (10.2.1)은 그림 10.2.3에 보인 것과 같은 주어진 힘과 모멘트에
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서부터 구해진다. 질량행렬뿐만 아니라 강성행렬도 보의 형상함수 φ,(x)가 주어지면 포텐셜
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에너지와 운동 에너지를 사용하여 구할 수 있다.
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보의 일반 방정식을 전개하면, 그것은 3차식이 되는데 처짐은 다음의 형태로 나타내어진다.
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沙U) = Pi 十 p2ξ + + (10.2.2)
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이 때
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ξ= y 그리고Pz = 상수
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미분함으로써 기울기의 식을 구할 수 있다.
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∕∣9(X)=JP2 + 2p3ξ + 3p4ξ2 (10.2.3)
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ιo.2 보 요소에 대한 강성 및 질량 337
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만일 경계조건으로 ξ = o과 ξ= 1 을 삽입하면, 경계 방정식은 다음의 행렬식으로 표시될
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수 있다:
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”1 0 ! 0 O-
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OIlOO
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PI
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Pi
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Ul
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Jg느
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v2 己¾ >
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(10.2.4)T"^i'i'ι""T
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0 112 3
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P3
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< 乃4 >
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위에 보여진 것과 같은 구역지어진 행렬로부터, Pl과 P2는 단위행렬에 의하여 VI 및 ∕01 과
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관련되는 것이 분명하다. PX = Vl과P2 = lθl을 대입하면 행렬의 마지막 두 열을 P3와P4로 쉽
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게 풀이할 수 있다. 그렇게 하면 식 (10.2.4)의 구하고자 하는 역행렬은 다음과 같다.
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1 0 ! 0 0“PI
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P2_l
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P3 I
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PJ
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υ∖
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lθλ0 1 : 0 0
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(10.2.5)
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-3-2∣3 -1
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2 1 ! -2 1
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υ2
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< 1어2 >
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이 방정식은 각각의 변위를 1 로 두고 다른 것을 0으로 둠으로써 A의 결정을 가능하게 한
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다. 즉, 다른 모든 변위는 0으로 두고 Vl(X) = 1 인 경우에 대하여, 식 (10.2.5)의 제 1 행을 얻
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을 수 있다.
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Pl = 三 P2 = 0, P3 = —3, 그리고 p4 = 2
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이들을 식 (10.2.2)에 삽입함으로써 그림 10.2.2의 첫 번째 모양에 대한 형상함수를 구한다.
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<p1(x) = 1 — 3ξ2 + 2ξ3
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마찬가지로 θ1 = 1에 제2행을 구하면 다음과 같다.
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P↑ = 0, p2 = I, p3 = -2/, 그리고 p4 = I
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그리고
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<P2(x) = lξ- 2lξ2 + Ie
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다른 두 개의 φ,<x)도 유사한 방법으로 구해진다. 요약하면, 네 개의 보 형상함수에 대하여
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다음 식을 구하게 된다:
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<P1(x) = 1 — 3ξ2 ÷ 2ξ3
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338 ChaPte「10 유한요소법 입문
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<p2(x) = lξ- 2lξ2 + Ie
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||
<p3(x) = 3ξ2 - 2ξ3
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φ4(χ) = -Ie + Ie
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(10.2.6)
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일반화된 질량 및 일반화된 강성 일반적으로 변위를 그림 10.2.2에 나타낸 네 개의 형상함
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수의 중첩에 의한다고 생각함으로써, 우리는 다음의 식을 얻는다.
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y(x) = (PIVl + φ2θ∖ + φ3υ2 + φ4θ2
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_ , , , (10-2.7)
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— (P↑q↑ 十 <p2이2 十 (P3^3 十 (P4^4
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||
여기서 아는 끝단의 변위를 위하여 넣어졌다.
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||
일반화된 질량을 구하기 위하여, 앞의 식은 운동 에너지를 위한 수식에 삽입되어진다.
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T= I Jy2m Jx = I 2 Σ 44 I <Pi<Pjm dx
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||
= I ΣΣ miiQiij (10.2.8)
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||
그리하여 일반화된 질량 四y는 질량행렬의 요소를 구성하고 다음 식과 같게 된다.
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mij = φi<Pjm dx (10.2.9)
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Jo
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||
네 개의 보함수를 식 (10.2.9)에 삽입함으로써, 균일보 요소에 대한 질량행렬은 끝단의
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||
변위의 항으로 표시되어진다.
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" 156 221 .' 54 -13∕^
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ml 22/ 4/2 I 13/ _-3Z2
|
||
420 54 13/ ! 156 —221
|
||
— 13/ -3/2 ! -22/ 4Z2 _
|
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(10.2.10)
|
||
그 행렬은 강성행렬에 사용되어진 것과 같은 보함수에 기초하고 있기 때문에 집중질량
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(COnSiStent mass) 이라고 불린다.I)
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1) J.S. Archer, “Consistent MaSS MatriX for DiStribUted MaSS Systems,” J.Struct Div. ASCE, Vol. 89, No. STA4 (
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AUgUSt 1963), ρρ. 161-178.
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ιo.3 좌표 변환(전체 좌표계) 339
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10,31 좌표 변환(전체 좌표계)
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국부 요소의 항으로 전체 구조의 강성행렬을 결정하는 경우에는, 적합한 조건을 확인하기
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위하여 우선 인접한 요소들 사이의 변위를 대등하도록 할 필요가 있다. 제6장에서는, 각 결
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||
합부의 시험을 통하여 이루어졌고, 각 결합부에서 근접 요소의 방향을 고려하였다.
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유한 요소법에서는 변위와 힘을 전체 좌표(global COordinate)라고 알려진 공통의 좌표계
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로 변환함으로써 단순화된다.
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평면구조를 다시 고려하고 수평 및 수직방향으로 가정되어지는 전체 좌표 示, F와 각도 α
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를 가지는 국부 요소 ①, ②를 조사하면 그림 10.3.1(a)에 보여진 것과 같다.
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||
결합부 ①에서 ①'으로의 변위 r1 은 국부 및 전체 좌표에서 모두 같아야만 한다. 이 요구
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조건은 다음 식으로 표현되어진다.
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r1 = Mli + Vlj = MIi + υ1j
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여기서 i, 느와 I, J는 두 좌표계에 대한 단위 벡터이다. 앞의 식에 대한 i> 내적하면 다음 식
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을 얻는다.
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u1(i∙i) + υ1(j∙i) = w1(i∙i) ÷ Vl(I i)
|
||
즈
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+ 0 = COS α + 引 Sin a
|
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다음으로 드를 내적하면 다음 식을 얻는다.
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0 + υ1 = -UX Sin α + υ1 COS a
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그리하여 우리는 이들 결과를 다음의 행렬식으로 나타낼 수 있다.
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(Q)
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그림 10.3.1
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(b)
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340 아IaPterlO 유한 요소법 입문
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SIn a
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||
COS a
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||
1:}
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(10.3.1)
|
||
앞의 식은 국부 좌표 w1, Vl을 전체 좌표 h1, 구의 항으로 표현하였다. 이들 결과는 그림
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10.3.1(b)로부터 기하학적으로 손쉽게 확인되어진다.
|
||
마찬가지로, 국부 좌표에서 결합부 ②의 변위는 동일한 변환식에 의하여 전체 좌표의 항
|
||
으로 표현되어질 수 있다. 두 좌표계에 대한 회전각은 물론 동일해야 만하고, Θ = 규로 된다.
|
||
그리하여 우리는 변환행렬에서 0를 다음과 같이 포함시킬 수 있다.
|
||
[ U COS a Sin a 0^ U
|
||
► — -Sin a COS a 0 < V > z = 1, 2 (10.3.2)
|
||
i 0 0 2_ i
|
||
그리하여 수평에 대하여 반시계방향으로 측정하여 각도 α를 만듦으로써 임의 요소에 대한
|
||
변환행렬은 다음과 같게 된다.
|
||
'w1' C S 0 r 示 >
|
||
이 1 -S C 0 0
|
||
( 어
|
||
∖----- > =
|
||
0 O 1
|
||
0u2 C S 示 2
|
||
이 2 0 I -S C 0
|
||
W ! 0 0 1_
|
||
(10.3.3)
|
||
여기서 C = COS a 및 5ι = Sin 사!이다. 변위에 대하여 유도된 변환행렬은 마찬가지로 힘 벡터
|
||
에 대해서도 적용되어질 수 있다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.
|
||
더욱 단순한 표기로서, 우리는 국부에서 전체 좌표로 변환식을 다음과 같이 다시 쓸 수
|
||
있다.
|
||
r = Tr
|
||
(10.3.4)
|
||
F=TF
|
||
여기서 T는 변환행렬, r, F 및 F, W 각각 국부 및 전체 좌표에서의 변위와 힘 이다. 우리는
|
||
이것을 r과 F사이의 관계에 더하게 되는데 이것은 강성행렬이다.
|
||
F= kr (10.3.5)
|
||
그리고 그것은 전체계에서는F= 方로 쓸 수 있다. 식 (10.3.4)에서 우리는 다음 식을 얻는다.
|
||
P - τ~λF = TTF (10.3.6)
|
||
|
||
|
||
ιo.4 전체 좌표계에서의 요소강성 및 요소질량 341
|
||
여기서 우리는 변환행렬은 직교행렬이고 T-I = Tn)인 것에 주목하고자 한다. 강성식으로
|
||
부터, F를 대치하고, r을 F의 항으로 바꿈으로써 다음 식을 얻는다.
|
||
2) 부록 C 참조
|
||
(10.3.7)
|
||
그리하여 국부 좌표계에 대한 k는 다음의 식에 의하여 전체 좌표계에 대한『로 변환되어진다.
|
||
k = TTkT (10.3.8)
|
||
1(L41 전체 좌표계에서의 요소강성 및 요소질량
|
||
축방향 요소 축방향 요소에 있어서, 요소 모멘트는 0이고, 끝단의 힘과 변위는 요소길이
|
||
와 나란하다. 그러므로 오직 축방향 요소만을 포함한 계에 있어서는 6X6 변환행렬은 다음
|
||
의 4 X 4 행렬로 축소되어진다.
|
||
(10.4.1)
|
||
우리는 축방향 요소에 대한 강성 및 질량행렬이 2 × 2차원이고, 그러므로 다음과 같이
|
||
4X4 행렬로 다시 나타내어져야만 한다는 것을 주목한다.
|
||
W=M -11 UI
|
||
-1 1 U2
|
||
0 I2 01 Wl
|
||
ml 0 0 I 0 0 이 1
|
||
6 1 0 : 2 0 U2
|
||
0 !0 00 Vl)
|
||
Ul
|
||
EA
|
||
1 0 : -1 o"
|
||
O O ! O .0
|
||
~τ -10:10
|
||
O O ∙ O 0_
|
||
_ ml "2 Γ
|
||
U) = ~6 _1 2_
|
||
(10.4.2)
|
||
그러면 이들 4X4 행렬은 그것을 전체 좌표계로 변환하기 위하여 식 (10.3.8)에 삽입되
|
||
어질 수 있다. 2
|
||
|
||
|
||
342 ChaPterIO 유한요소법 입문
|
||
CS ! -C2 -CS
|
||
CS S
|
||
-CS I C
|
||
-S2 ； CS
|
||
(10.4.3)
|
||
m — TTmT — —
|
||
6
|
||
2c2
|
||
Ics
|
||
2cs ! c2 —I
|
||
2s2 I CS_ _ S_
|
||
(10.4.4)
|
||
CS s2 I 2cs 2s2
|
||
그림 10.4.1 의 힌지로 지지된 변길이가 3:4:5인 직삼각형 트러스에 대한 강성행렬을
|
||
구하라.
|
||
WU 구조는 결합부 1, 2, 3을 가진 세 개의 단순지지 요소 a, b, C로 구성되어져 있
|
||
다. 각각의 결합부는 전체계에서 2자유도를 가지고, 여섯 개의 힘과 변위관계는 다음
|
||
식으로 나타낼 수 있다.
|
||
아
|
||
푸
|
||
이 2
|
||
＜石3；
|
||
각각의 요소의 전체 강성은 특정 요소에 대하여 Sin α와 CoS α를 삽입함으로써 식
|
||
(10.4.3)으로부터 구해진다.
|
||
요소 이(1 에서 2):
|
||
|
||
|
||
ιo.4 전체 좌표계에서의 요소강성 및 요소질량 343
|
||
4
|
||
5
|
||
3
|
||
5
|
||
요소 b（2에서 3）:
|
||
C=-1, 5 = 0
|
||
요소 c（3에서 1）:
|
||
C = O, 5 = — 1
|
||
VC
|
||
이들은 이제 6X6 강성식으로 구성되어져야만 한다. 이와 으에 대한 행렬은 공통의
|
||
변위 ft］를 갖고, 그것은 공통의 변위와 관련된 단면이 서로 겹치는 것으로 쉽게 알
|
||
수 있다.
|
||
16 12 -16 "I -12
|
||
/— 、
|
||
Ul
|
||
! 12 9 -12 ； -9
|
||
引
|
||
으外 !-16 -12「16+ 쓰서 12 -V 0^! U2
|
||
251） '-12 -9 : 12 J 9 0 0 ' >2
|
||
： -ψ ’ O ψ 0 U3
|
||
L 0 0 OOJ _
|
||
|
||
|
||
344 아IaPterlO 유한요소법입문
|
||
E에 대해서 적절한 위치를 찾기 위하여, 네 개의 2X2 행렬로 분리되어질 수 있고,
|
||
그것은 다음과 같이 정리되어질 수 있다.
|
||
—()
|
||
0
|
||
0 !
|
||
125 I
|
||
3 '
|
||
!0
|
||
IO
|
||
O_ 끄
|
||
T
|
||
/— X
|
||
A(≡
|
||
I I
|
||
우 ►
|
||
O
|
||
O
|
||
O !
|
||
125 '
|
||
““I
|
||
!θ
|
||
Io
|
||
O
|
||
125
|
||
示3
|
||
패3>
|
||
이들 세 개 행렬을 합침으로써, 우리는 트러스에 대한 강성행렬을 다음과 같이 구하게
|
||
된다.
|
||
FIX
|
||
Γ ! ! 1 / \
|
||
UI
|
||
흐 _
|
||
16 12 : -16 -12 ： 0 0
|
||
12 9 + g引 -12 -9 ! O -ψ
|
||
< F2x
|
||
> = 씌 -16 -12 ; 16 + ψ 12 -ψ O
|
||
< 示 2 I
|
||
(25// -12 -9 : 12 9 ! O 0
|
||
흐
|
||
0 O ! O ψ 0
|
||
O -ψ ! O Oio ψ
|
||
_ 3 I I 3J
|
||
<⅝>
|
||
이것은 다음과 같이 변환되어 진다.
|
||
이제 변위 O의 조건을 결합부 1 과 3에 적용시키면, 그것은 제 1, 2, 5 및 6열을 완전히
|
||
없애고 다음의 식으로 남게 된다.
|
||
= 9 -12 0 1
|
||
∖v2} ∖EA) 281.25 L —12 47.25J I-PJ
|
||
|
||
|
||
ιo.4 전체 좌표계에서의 요소강성 및 요소질량 345
|
||
그러므로 결합부 2의 수직 및 수평방향 처짐은 다음과 같다.
|
||
"2 = （灰끄日4）（12月） = 1∙066 으
|
||
¾ = （ 자끚司 ）（—47.25P） = -4.200 크
|
||
∖ 281.25E√4 / EA
|
||
이들 값에서, 핀 1 과 3에서의 반력은 다음과 같다.
|
||
FyX — （ —— —16 X 1.066 - ÷ 12 × 4.200 —— — 1.333P
|
||
\ 251 ） L EΛ EA
|
||
FXy = 1.00OP
|
||
F3x = -1.333P
|
||
⅞ = 0
|
||
물론 이들 반력은 고정된 핀에 관한 모멘트를 취함으로써 쉽게 구할 수 있지만, 본 예
|
||
제는 더욱 복잡한 구조물인 경우에 따라해야 할 일반적인 절차를 나타내었다.
|
||
0 0 O Ul
|
||
사
|
||
아
|
||
U2
|
||
'으
|
||
#2
|
||
ml
|
||
~6
|
||
보 요소 보 요소에 대한 강성 및 질량행렬은 4 X 4차원이고, 이 때의 변환 행렬은 6 × 6이
|
||
다. 그리하여 이들 행렬을 전체 좌표로 변환하기 위하여, 축방향 성분을 더함으로써 다음과
|
||
같이 재구성하여 그들을 변형시킬 필요가 있다:
|
||
EA
|
||
느 1 0 ：-1
|
||
0 O 0 I 0 0 0
|
||
0 O O ! 0 0 0
|
||
1 0 O ! 1 0 0
|
||
0 0 0 : O 0 0
|
||
0 0 O ! 0 0 0
|
||
-2 0 O I 1 0 0"
|
||
0 O O ! O 0 0
|
||
0 0 0： O 0 O
|
||
1 0 O ! 2 0 O
|
||
0 0 0 O 0 O
|
||
_0 0 0 ! 0 0 0_
|
||
그러면 변환에 사용되는 요소행렬은 다음과 같다.
|
||
|
||
|
||
346 ChaPter 10 유한 요소법 입문
|
||
느 R O O : —R O O 느
|
||
O 12 6/ ! O -12 6/
|
||
, EIk= 下 0 61 4/2 ； O -61
|
||
의1__
|
||
(10.4.5)
|
||
-R O O ' R O 0
|
||
O -12 -6/ ! 0 12 -61
|
||
_ 0 61 2/2 : 0 -6/ 4匕 _
|
||
여기서 ☆（을1）（⅛） = 쓰이다.
|
||
N O OjPVo 0
|
||
0 156 22/ '' O 54 -13/
|
||
ml 0 22/ 4/2 ： 0 13/ —3/2 (10.4.6)m =
|
||
420 ∖N 0 O O
|
||
0 54 13/ : O 156 -221
|
||
O —131 -3l2∖ O —22/ 4Z2
|
||
여기서 N= （쯔）（쯔） = 140이다.
|
||
이들 6 × 6 요소행렬은 식 ;i = T7）cT와 m = T7mT에 의하여 전체 좌표（문자 위에 줄표시
|
||
있는 것）로 변환되어진다.
|
||
' (Rc2+ 12s2) (R - 12)cs -6ls I (-Rc2 - 12s2) (-R + 12)CS -6ls'
|
||
(R - 12)cs (Rs2 ÷ Ylc2) 6lc ! (―7? ÷ 12)c5 (-Rs2 - 12c2) GlC
|
||
El —6/5 Glc 4/2 6/5 -6lc
|
||
__ 기2-
|
||
Tr (-Rc2 - 1252) (-R ÷ 12)α 6/5 [ (Rc2 + 1252j (R - 12)cs 6/5
|
||
(-7? + 12)cs (-Rs2 — 12c2) —61C ； (R - 12)CS (Rs2 + 12c2) -6lc
|
||
_ —61S 6lc 2l2 6/5 -6lc 4/2
|
||
U
|
||
V
|
||
θ(10.4.7)
|
||
m ml
|
||
420
|
||
-OVC흐 + 156유) OV - 156)CS —22IS \! (PVC2 + 5¾2) (뉴 N - 54)α 1%
|
||
OV - 156)c5 (M2 + 156c2) 22lc I! G/V —54)c5 GM그 + 54c2) -13/c
|
||
22lc 시2 I — 13/5 13/c -3∕2
|
||
(IyVC2 + 54^2) (PV- 54)cs -13/5 \ (NC2 + 15652j (N - 156)CS 221S
|
||
心 N - 54)C5 (IM2 + 54c2) 13/c ； (N — 156)CS (NS2 + 156c2) -22lc
|
||
— 13/c -3∕2 I MlS -22∕c 4/2
|
||
(10.4.8)
|
||
10■디 보 요소를 포함하는 진동
|
||
보에 대한 유한 요소법의 예로서, 제6장과 제7장에서 풀이한 몇몇 문제들을 고려하자. 이
|
||
곳에서의 목적은 첫째로 두 개의 요소를 사용하여 어떻게 계의 식을 조합하는가를 보이는
|
||
것이고, 둘째로 회전좌표를 제거함으로써 수식의 자유도를 줄이는 것이다.
|
||
|
||
|
||
ιo.5 보 요소를 포함하는 진동 347
|
||
EHESk
|
||
그림 10.5.1 에 보여준 보는 길이 ｛인 두 개의 동일한 요소로 간주되고, 그의 강성과 질
|
||
≡ 량행렬은 식 (10.2.1)과 (10.2.10)으로 주어진다. I 대신 $을 삽입함으로써, 요소행렬은
|
||
I 다음과같다.
|
||
： 요소 a:
|
||
강성 (쪼)
|
||
느 12
|
||
_ 3/_
|
||
3Z
|
||
I2
|
||
: -12
|
||
! -3/
|
||
3/ 느
|
||
변위 벡터 ‘ 이 >
|
||
的
|
||
< ¾>
|
||
-12
|
||
_ 3/
|
||
—3/
|
||
0.5/2
|
||
: 12
|
||
! -3/
|
||
-3/
|
||
I2 _
|
||
질량 G
|
||
끄斗
|
||
r
|
||
156
|
||
11/
|
||
IIZ
|
||
Z2
|
||
54
|
||
[ 6.57
|
||
—6.5/
|
||
-0.75/2
|
||
Z40/ 54
|
||
-6.5/
|
||
6.5/
|
||
-0.75Z2
|
||
! 156
|
||
! -11
|
||
-11/
|
||
I I2
|
||
(α) (b)
|
||
d=. 1)
|
||
(1) (2)
|
||
Ci==d)
|
||
(2) (3)
|
||
그림 10.5.1
|
||
요소 方: 변위 벡터를 제외하고는 요소 이와 동일하다. 변위 벡터는 다음과 같다.
|
||
的
|
||
l¾J
|
||
보의 축과 일치하는 전체 좌표를 가지고, 계행렬의 조합은 단순히 요소 시와 그에 대한
|
||
이전의 행렬을 6X6 행렬로 중첩시키는 것이다. 그것은 강성행렬에 대해서는 다음과
|
||
같다.
|
||
|
||
|
||
348 아IaPterlO 유한 요소법 입문
|
||
요소 α
|
||
L 요소占_!
|
||
벽의 구속으로 인하여 y1 = 01 =O이기 때문에, 처음의 두 열은 무시될 수 있다. 또한
|
||
진동문제에서는 힘과 모멘트 Fl과 MI에 대해서도 모두 관심이 없다. 그러므로 처음
|
||
두 열뿐만 아니라 처음 두 행도 제외시킬 수 있어서 다음의 방정식으로 된다.
|
||
ml
|
||
^ 312
|
||
_ 0__
|
||
0 !
|
||
2l2 I
|
||
54
|
||
6.5/
|
||
-6.5/ ^
|
||
-0.75/2
|
||
840 54
|
||
-6.5/
|
||
6.51 \
|
||
-0.75Z2 !
|
||
156
|
||
-IlZ
|
||
-IlZ
|
||
Z2 b
|
||
(10.5.1)
|
||
보의 자유진동에 대하여 풀면, 힘 벡터는 0으로 되고 가속도 벡터는 -ω2에 변위를 곱
|
||
한 값으로 대치되어진다.
|
||
^ 24 0 ! -12 3/ 더
|
||
0 2Z2 ' -3/ 0.5/2 -¾->-12 -Z/ : 12 -Z/
|
||
_ 31 0.5Z2 ! -3Z I2 _ l⅛J
|
||
아
|
||
하
|
||
V2-
|
||
名"
|
||
컴퓨터 프로그램 beam.m 프로그램은 외팔보에 대하여 유한 요소 모델에 대해 결정되어
|
||
지는 고유 진동수를 계산하는 MATLAB®으로 쓰여진 파일이다. 사용자에게 보의 길이, 원하
|
||
는 요소의 수, 보의 질량, 보의 탄성계수 및 보의 관성 모멘트를 입력하라고 요구한 뒤, 프
|
||
로그램에서 모델에 대한 질량 및 강성행렬을 구성하게 된다. 두 개의 동일한 요소로 이루
|
||
어진 보에 대하여, 이들 행렬은 식 (10.5.1)과 같이 구해진다. 그러면 동행렬은 이들 두 행
|
||
렬에서부터 만들어진다. 동행렬의 고유값은 계산되어지고 모델의 고유 진동수를 구하는 데
|
||
사용되어진다. 프로그램에 관한 더욱 자세한 정보는 부록 F에 나타나 있다.
|
||
EElEEBL 좍표저갈
|
||
I 앞의 문제의 해를 구하는 데는 고유값-고유 벡터 관련 컴퓨터 프로그램이 필요하다.
|
||
I 그러나 우리는 결합부 2와 3에서 균일 분포질량을 집중질량으로 대체함으로써 더욱
|
||
I 단순화된 문제로 만들 수 있다. 그러면 질량행렬은 요소 W2와 "수를 제외하고는 모두
|
||
너 0인 값으로 된다. 이것은 변위 벡터를 정돈된 순서로 하기 위하여 앞의 식을 정리하는
|
||
! 것을의미한다.
|
||
月
|
||
Az2匕凶
|
||
+
|
||
|
||
|
||
ιo.5 보 요소를 포함하는 진동 349
|
||
이것은 단순히 제2열 및 제3열과 제2행 및 제3행을 서로 바꿈으로써 되어지고, 다음
|
||
과 같은 식으로 되어진다:
|
||
이제 식은 다음과 같은 형태가 된다.
|
||
P知 l0J∣∣-4 + [:K브丄⅛]μg = IOl
|
||
L 0 ! 이 IdJ L尺21 ! ^22JbJ IOJ
|
||
이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
|
||
MlIV ÷ KlIV+ Kγ2θ = 0
|
||
TC21V + K22θ = 0
|
||
두 번째 식에서 0는 V로 나타내어질 수 있다:
|
||
θ = -TC221K21V
|
||
첫 번째 식에 대입하면 다음으로 나타내어진다.
|
||
Λf11V ÷ (K11 -K12TC221 K21)V = O
|
||
원래의 항으로 표현하면 다음과 같다.
|
||
m2 θ]∫⅛] (8EI∖ Γ 24 -12
|
||
O λh3JI⅛J 十 ( Z3』_-12 12
|
||
0 3/ Il2 0.5/2
|
||
-3/ -3∕J∣0.5∕2 I2
|
||
O
|
||
3Z
|
||
다음 항은 저감 강성(reduced StiffneSS)이고,
|
||
尺11 _ 尺\2尺』尺2↑
|
||
곱해졌을 때 그 값은 다음과 같다.
|
||
(10.5.2)
|
||
(10.5.3)
|
||
(10.5.4)
|
||
|
||
|
||
350 ChaPterlo 유한요소법 입문
|
||
8EI 96 -30 48£7 16 -5규
|
||
-30 12 -5 2
|
||
그러므로 원래의 4X4식은 2X2식으로 저감되어지고, 최종의 형태는 다음과 같다.
|
||
7 ：1}+(쯔T： 기1：：}={：}
|
||
수용가능한 이산질량 분포는 각 요소의 질량이 요소의 각 끝에 반씩 나누어지는 것이
|
||
다. 그리하여, 만일 길이 /인 균일보의 전체 질량은》이고, 그림 10.5.2에 보인 것과
|
||
같이 각 요소의 질량은 m∕∕2이고, m2 — 2(m∕∕4) — ml/2 및 g = m∕∕4이다
|
||
그림 10.5.2
|
||
균일 외팔보의 두 요소 이산질량 모델
|
||
운동 방정식과 해는 다음과 같다.
|
||
여기서
|
||
시::］丄: 기］{::}={:}
|
||
ω1ml
|
||
4
|
||
7Z3
|
||
48£7 ω⅛
|
||
ml4
|
||
Ii
|
||
A1 = 0.3632 ω1 = 3.516 엄밀값 = 3.516
|
||
A2 = 9.637 ω2 = 22.033 엄밀값= 22.034
|
||
_ ∫0.3271 _ ∫-1.5271어 —(1.0Ooj ≠2 - I 1.0OOJ
|
||
예제 10.5.3
|
||
동일 요소로 이루어진 문형 구조(Portal frame)의 자유 진동식을 구하라.
|
||
MV 그림 10.5.3에 보인 것과 같이 결합부의 번호를 붙임으로써, 각 요소에 대한 강
|
||
성과 질량은 식 (10.4.7)과 (10.4.8)로 나타내어진다. 결합부 0와 3은 변위가 0 값을 가
|
||
지므로, 우리는 결합부 1 과 2에 대한 항만을 쓴다.
|
||
|
||
|
||
ιo.5 보 요소를 포함하는 진동 351
|
||
요소 0—1, a — 90o, c = 0, 占 = 1:
|
||
스0-1
|
||
EI下
|
||
I -12
|
||
I 0
|
||
! 6/
|
||
0
|
||
- R
|
||
0
|
||
- 6/“
|
||
0
|
||
2/2! 으 0 6/
|
||
: 0 R 0! 이 0 4/2_
|
||
ml
|
||
! 54
|
||
I 0
|
||
! -13/
|
||
0
|
||
0
|
||
13厂
|
||
0
|
||
-3Z2
|
||
420 ； 156 0 22/
|
||
0 0 0
|
||
• 22/ 0 4/2_
|
||
요소 1—2, α = 0o, c= 1, 5 = 0:
|
||
_ R 0 0 ! -R 0 ()“
|
||
0 12 6/ ; 0 -12 6/ 引
|
||
EI 0 6/ 4Z2 ： 0 -61 2으 g
|
||
= 7r —R 0 0 ' R 0 0 W2
|
||
0 -12 —6/ ! 0 12 -6/ 石 2
|
||
0 6/
|
||
기2 !
|
||
0 -6/ 4/2_
|
||
꺼1-2
|
||
느 N 0 0 U* 0 0“
|
||
0 156 22/ : 0 54 -13/
|
||
_ ml 0 22/ 4/2 ! 0 13/ -3/2
|
||
= 420 \ 시
|
||
0 0 ! 川 0 0
|
||
0 54 13/ I 0 156 —221
|
||
_ 0 — 13Z -3Z2 : 0 -22/ 4/2
|
||
|
||
|
||
352 ChaPterlo 유한요소법입문
|
||
다음으로 VI=P2 = O임을 주목하면, 제2행과 제5행뿐만 아니 라 제2열과 제5 열 또한
|
||
삭제되어진다. N= 140⅜ 대입하여 자유진동에 대한 식을 세우면 다음과 같이 된다.
|
||
ml
|
||
"156 0 22/ I
|
||
ONOl
|
||
221 0 _ 4/2_ ；_
|
||
420 0
|
||
이 행렬들을 조합하면 다음 식을 얻는다.
|
||
요소 2—3, a — 270o, C = O, 占 = — 1:
|
||
O
|
||
o
|
||
o
|
||
o
|
||
=
|
||
120
|
||
lwl족
|
||
-w2⅞
|
||
^^296
|
||
221 _
|
||
221
|
||
8/2
|
||
I 70
|
||
0
|
||
o’
|
||
-3P_
|
||
70
|
||
_ 0
|
||
O
|
||
—3/2
|
||
I 296
|
||
； 22/
|
||
22/
|
||
8l2_
|
||
브≈
|
||
-wI石T -w2⅛
|
||
^(
|
||
12 ÷ 尺)
|
||
6/
|
||
6/
|
||
8/2
|
||
- -R
|
||
0
|
||
0^
|
||
_ 기2_
|
||
-R
|
||
0
|
||
0
|
||
2l2
|
||
j(12 +
|
||
尺)
|
||
61
|
||
6/
|
||
8/\
|
||
十
|
||
으≈
|
||
으≈
|
||
-≡T
|
||
- S r- Q r
|
||
-w2½
|
||
-
|
||
⅛
|
||
’(12 +
|
||
0
|
||
6Z
|
||
尺）
|
||
(1 2
|
||
0
|
||
+
|
||
6/
|
||
尺） 6/
|
||
6/
|
||
8/2
|
||
R
|
||
0
|
||
0
|
||
0
|
||
12
|
||
6/
|
||
0 느
|
||
6/
|
||
_212__
|
||
R
|
||
0
|
||
0
|
||
0
|
||
12
|
||
61
|
||
O
|
||
-6/
|
||
2Z2
|
||
I (12 ÷
|
||
0
|
||
61
|
||
尺）
|
||
(12
|
||
0
|
||
+
|
||
6/
|
||
尺） 6/
|
||
-6/
|
||
8/2 _
|
||
_£ _
|
||
의
|
||
그
|
||
머
|
||
⅛
|
||
-
|
||
½
|
||
-
|
||
¾
|
||
‘(12 +
|
||
0
|
||
6/
|
||
尺）
|
||
(12
|
||
0
|
||
+
|
||
67
|
||
R)
|
||
61
|
||
61
|
||
8/2
|
||
I - R
|
||
0
|
||
0
|
||
0
|
||
12
|
||
6/
|
||
0 “
|
||
6/
|
||
= _
|
||
R
|
||
O
|
||
0
|
||
0
|
||
12
|
||
6/
|
||
0
|
||
-6/
|
||
2Z2
|
||
!(12 +
|
||
0
|
||
6/
|
||
R)
|
||
(12
|
||
0
|
||
+
|
||
6/
|
||
R)
|
||
6/
|
||
-6/
|
||
8/2 _
|
||
2
|
||
|
||
2
|
||
|
||
—2
|
||
-
|
||
3
|
||
|
||
3
|
||
|
||
)
|
||
3
|
||
|
||
W
|
||
|
||
石》
|
||
- 0
|
||
-2
|
||
|
||
石
|
||
|
||
-
|
||
0
|
||
|
||
|
||
예제 10.5.4
|
||
ιo.5 보요소를포함하는 진동 353
|
||
그림 10.5.4는 문형 구조(POrtal frame)에 대한 자유진동의 최저차의 비대칭 및 최저차
|
||
의 대칭 모드들을 보여준다. 주어진 모드에 대한 고유 진동수를 구하라.
|
||
WV 비대칭 모드 지점 1 과 2의 처짐 및 기울기는 處 = 必 및 @ = @2로 동일하다. 이
|
||
들 조건은 이전의 식에서 제3열을 제 1 열에 그리고 제4열을 제2열에 더함으로써 부과 되어질 수 있다. 이는 ｛스｝와 에 대하여 동일한 식으로 된다.
|
||
ω2ml Γ366 22/] £7 Γ12 6/ ^]][u↑∖ _ {01
|
||
^420^ L 22/ 5∕2J + 7γL6∕ 10∕2Jjt⅛J = IOJ
|
||
λ = ω2ml4∕420EI로 둠으로써, 이 식의 행렬식은3} 다음과 같다.
|
||
(12 - 366A) (6 - 22λ)/ _
|
||
(6 - 22Λ)/ (10 - 5λ)/2 = °
|
||
A1 = 0.0245
|
||
A2 = 2.543
|
||
두 근을 구하면 다음과 같다.
|
||
ω1 = 3.21
|
||
ω2 = 32.68
|
||
그림 10.5.4(a)에 보인 것과 같은 단순한 형상에 대응하는 최저차의 고유 진동수는 수
|
||
용할 만한 정확도를 가진다. 그러나 2차 비대칭 모드는 더욱 복잡한 형상을 갖게 되고,
|
||
이 문제에서 사용한 몇 개의 지점으로 계산한 ω2는 정확하지 않을 것이다. 고차 모드
|
||
를 적절히 나타내는 데는 더욱 여러 개의 지점이 필요할 것이다.
|
||
Z) 행렬식이 곱해질 때 Z2은 제거되어진다. 그리하여 λ1 및 X2의 값을 변화시키지 않고 주파수 방정식의 행렬에서
|
||
Z= 1.0을둘수 있다.
|
||
|
||
|
||
그림 10.5.5의 외력을 전체계의 외력과 비교하면 다음과 같다.
|
||
f 凡 + F2x]
|
||
► — 녀
|
||
r 야 '
|
||
-Jzt1
|
||
I J
|
||
.—•사=
|
||
354 아IaPterIO 유한요소법 입문
|
||
- 그러면 λ와 ω는 다음과같다.
|
||
i 대칭 모드 대칭 모드에 대해서는 Ml = W2 = 0 및 仏=—01 이다. 제1 열과 제 3 열을 지우
|
||
I 고, 제4열과 제2열을 제거하면, 別에 대한 오직 한 개의 식을 구하게 된다.
|
||
El
|
||
ω2ml Z X EI, ■
|
||
— 즈5示 (IlZ)+ -P(6/)0ι = O
|
||
6 Λ=- ω = 15.14
|
||
i 그림 10.5.5는 문형 구조(POital frame)에 외력이 작용하는 것을 나타낸다. 경계조건을 ! 조사하고,강성행렬을 주어진좌표의항으로구하라.
|
||
너 WD 요소의 신장이 없다는 조건 WI = U2⅛ 예제 10.5.3의 식 (C)에 제3열과 제 1 열을
|
||
서 더함으로써 만족되어진다. 이것은 신장의 항 R을 없앤다. 우리는 역시 제3행을 제 1행
|
||
너 에 더함으로써 강성행렬을 3X3행렬로 다시 쓸 수 있다:
|
||
그림 10.5.5
|
||
-W -Qr
|
||
-¾
|
||
(
|
||
I
|
||
l
|
||
l
|
||
|
||
6
|
||
2∕
|
||
8∕
|
||
6
|
||
8/
|
||
2Z
|
||
24
|
||
6Z
|
||
6/
|
||
끄
|
||
≈-
|
||
、
|
||
>---
|
||
√
|
||
+ i
|
||
λ
|
||
∕1
|
||
m2
|
||
|
||
|
||
ιo.6 구조물에서의 스프링 구속조건 355
|
||
凡 = 0 및 日X = 야을 사용하면, 주어진 좌표와 주어진 하중의 항으로 나타낸 강성행렬
|
||
은다음과 같다.
|
||
여
|
||
—6/ —6/
|
||
8/2 2/2
|
||
2Z2 8/2
|
||
U
|
||
臥 스
|
||
l¾J
|
||
10■이 구조물에서의 스프링 구속조건
|
||
제9장에서 스프링 구속조건들은 가상일에 의하여 일반화된 힘으로 취급되었다. 유한 요소
|
||
법의 경우에도 동일한 개념이 적용된다. 스프링의 작용점은 결합지점으로 선택한다. 그러
|
||
므로 전체 좌표에서 원래 구조에서의 하중은 스프링 힘으로 치환된다.
|
||
스프링 힘은 항상 변위에 대하여 반대 방향이기 때문에, 결합부에서의 힘과 모멘트는
|
||
-kvi 또는 -Kθi로 줄어 들게 된다. 그러므로 방정식의 다른 변으로 이항되었을 때, 스프링
|
||
하중은 해당 강성항에 더해지게 된다.
|
||
예제 10.6.1
|
||
그림 10.6.1(a)에 보인 선형인 회전 스프링을 갖고 균일보에 대한 강성행렬을 구하라.
|
||
WV 우선 그림 10.6.1(b)에 있는 스프링이 없이 지점 2에 하중 P와 M이 작용하
|
||
는 보의 강성 행렬을 세우자. 각 단면 1-2 와 2-3에 대한 강성 행렬은 보요소 행렬식
|
||
(10.2.1)에서부터 세워질 수 있다. v1 = 01 = v3 = 03 = 0임을 주목하면, 우리는 좌표 v2
|
||
및 θ2와 관련된 행렬의 부분의 값을 정할 필요가 있고, 그것은 다음과 같이 된다.
|
||
그림 10.6.1
|
||
|
||
|
||
지점 2에 작용하는 스프링들에 있어서, 힘 벡터는 다음 식으로 대치된다.
|
||
스프링 힘을 식의 우측으로 보내면 다음 식을 구할 수 있다.
|
||
Pq _ EJl2(⅛ + ⅛) + ⅛ 쇠∕W)]∣히
|
||
시- L -6GH) <H)+⅛>1
|
||
전체계에서 힘 호는 윗방향으로 양의 값을 갖고, 472는 반시계 방향으로 양의 값을 가
|
||
지므로, 앞의 식은 다음과 같이 정리되어진다.
|
||
이는 스프링 구속조건을 갖는 보에 대한 강성행렬을 정의한다. 식으로부터 계는
|
||
Ii = I2 = 1/2일 경우 비연성화가 되고, 그 경우 식은 다음과 같이 간단하게 된다.
|
||
중심에서 처짐은 다음과 같다.
|
||
_ _ (Pl3/Er) _ MliIEI
|
||
Vl = 192 + kl3∕EI 2 = 16/2 + Kl3/EI
|
||
356 아IaPterlo 유한요소법 입문
|
||
|
||
|
||
ιo.6 구조물에서의 스프링 구속조건 357
|
||
따라서 운동 방정식은 다음과 같다.
|
||
0156
|
||
20
|
||
그리고 이 모드에 대한 고유 진동수는 다음과 같다.
|
||
0.00521
|
||
마찬가지로, 的에 대한 식은 다음과 같이 된다.
|
||
- 그리고
|
||
ω1 = 22.37
|
||
예제 10.6.2
|
||
kΓ
|
||
156(Zl + Z2)
|
||
—22(片 - ZD
|
||
그리하여 유한 요소 접근에 있어서 1 차 모드에 대한 오차는 1.61%이고, 2차 모드에 대
|
||
한 오차는 33.9%이다. 보를 더욱 작은 요소로 나누면 이들 오차가 줄어들게 된다.
|
||
또다시 좌표 v2 및 @2가 비 연성화된다. λ = ω2m∕4∕420E/로 둠으로써, 그에 대한 식은
|
||
다음과 같이 된다.
|
||
kl3
|
||
U
|
||
ω2 — 81.98
|
||
-⅛("+2
|
||
…+쯜
|
||
El
|
||
+ π
|
||
kp
|
||
= 1.231 + 0.00641 —
|
||
5 쓰 = 6167
|
||
그러므로 두 고유 진동수는 구속 스프링에 의하여 증가된다. 만일 A = 尺=O이면, 고정
|
||
단을 가진 보의 정확한 고유 진동수는 다음과 같다.
|
||
EI
|
||
ml4
|
||
m
|
||
420
|
||
너 예제 10.6.1 에서 Z1 = ∕2 = Z/2인 경우 구속된 보의 고유 진동수를 구하라.
|
||
I WV 이 값을 구하기 위하여 질량행렬이 필요하고, 식 (10.2.10)으로부터 다음과 같
|
||
≡ 이 표현할 수있다.
|
||
ω1ml
|
||
-420^
|
||
kl3
|
||
El
|
||
0.0625
|
||
0
|
||
|
||
|
||
358 아IaPterlO 유한요소법 입문
|
||
Jq^기 일반화된 힘과분포하중
|
||
제7장에서 논의한 바와 같이 일반화된 힘은 작용력의 가상일에서부터 구할 수 있다. 변위
|
||
가 다음과 같이 나타나 있을 때,
|
||
y(x) — <∕>1(x)υ1 + <∕>2(x)^ι 十 φ3(x)υ2 十 ≠4(x)¾ (10.7.1)
|
||
작용하는 분포력 P(X) 의 가상일은 다음과 같다.
|
||
δW= [ P(X) δy(x) dx
|
||
JO
|
||
= δυ1 P(X)φ1(x) dx + δθ1 p(x)≠2(x) dx
|
||
JO JO
|
||
÷ δυ2 I p(x)≠3(x) dχ + 6Θ2 I p(x)ψ4(x) dx (10.7.2)
|
||
JO JO
|
||
식 (10.7.2)에서 적분표시된 것은 일반화된 힘이다.
|
||
만일 끝단의 힘 F1, Ml, F2 및 M2에 동일 과정이 적용되면, 가상일은 다음과 같다.
|
||
δw = Fl δυl + MI δθ1 + F2 δυ2 + MI δθ2 (10.7.3)
|
||
앞의 두 경우에서의 가상일을 계산하면, 우리는 다음의 관계식을 얻을 수 있다.
|
||
FI = P(X)ψ1(x) dx F2 - p(x)φ3(X) dx
|
||
jθ ⅛ (10-7.4)
|
||
Mi = P(X) <∕>2(x) dx M2 = P(X) ψ4(x) dx
|
||
JO JO
|
||
그리하여 분포하중에 대한 등가 유한요소하중은 지금 구한 일반화된 힘이다.
|
||
예제 10.7.1
|
||
| 그림 10.7.1 에는 길이가 Z1 이고, 보의 바깥 반쪽 위에 균일 하중 P(X)=Plb/in를 받고
|
||
있는 외팔보를 나타내고 있다. 본 절의 방법을 사용하여 끝단에서의 처짐과 기울기를
|
||
I 구하라.
|
||
I WM 우리는 ①-②인 단일 요소를 사용하고, 강성행렬의 역행렬을 결정하자.
|
||
! v1 = 02 = 0이므로, 식 (10.2.1)에서부터 강성수식은 다음과 같다.
|
||
|
||
|
||
ιo.7 일반화된 힘과분포하중 359
|
||
그림 10.7.1
|
||
(이 _흐「12 -6∕1]∫띠
|
||
IMj /?[-必 4/f JbJ
|
||
수반연산 방법을 사용하면, 그 역은 다음과 같다.
|
||
4zι 6zΓ∣{F2]
|
||
¾∫ E∕12g[6∕ι 12_|IMJ
|
||
식 (10.7.4)로부터 상당유한 요소 작용력은 다음과 같다.
|
||
F2 = [ — PΦKx) dx= -p∖ Φ3(ξ)l1 dξ = -PIx f (3/ - 2ξ3) dξ= —
|
||
Jl2 J1/2 J1/2 JZ
|
||
∫
|
||
1
|
||
1/2 - WfW = - 씨i/2(-f + 己 쌰 = 쁪此
|
||
이 값들은 역식에 대입하면 다음과 같다.
|
||
f 52 528 1
|
||
PK 32 1536 I
|
||
12 EI" 78 1056 |
|
||
느 ~32Λ 十 I=J
|
||
쑈＜
|
||
48 EI
|
||
5.125
|
||
7.000
|
||
이들 결과는 면적 모멘트법으로부터 구한 결과와 일치한다.
|
||
|
||
|
||
360 ChaPterIo 유한요소법 입문
|
||
10■이 변위에 비례하는 일반화된 힘
|
||
일반화된 힘이 변위에 비례할 때, 자유진동을 위하여 강성행렬과 결합하기 위해 운동 방정
|
||
식의 좌측으로 옮겨질 수 있다. 본 절에서 제시되는 것은 다음의 두 경우이다.
|
||
(1) 분포력이 보에 수직 일 때
|
||
(2) 분포력이 보에 수평 일 때
|
||
경우 1 식 (10.7.2)의 가상일의 항P(X)가Λx)y(x)에 의하여 대치되면, 다음의 식으로 된다.
|
||
8W — f /(x)y(x) δy(x) dx (10.8.1)
|
||
JO
|
||
이 때 XX) = XZ≠⑷이다. 여기서 Φ는 보함수이고, 또 이는 식 (10.7.1)에서처럼 요소 끝단 처
|
||
짐이다.
|
||
δW = 乞 乞 qj 6ql f f(x)φiφj dx (10.8.2)
|
||
Z j Jo
|
||
그리고 일반화된 힘은 다음과 같다.
|
||
β/ = 을Y= ∑ Qj f )WΦiΦj dx (10.8.3)
|
||
j Jo
|
||
이는 변위에 비례하는 것이다.
|
||
예제 10.8.1
|
||
그림 10.8.1 은 보의 바깥 반쪽의 아랫부분에 탄성지지를 받고 있는 외팔보를 나타낸
|
||
다. 지지되는 강성은 —ky lbs∕in이고, 여기서 ") = —그로 일정하다. 이 때 운동 방정
|
||
식은 다음과 같다.
|
||
그림 10.8.1
|
||
|
||
|
||
ιo.8 변위에 비례하는 일반화된 힘 361
|
||
길이 /인 요소에 대하여 식 (10.8.3)에 나타난 적분을 수행하면 다음의 식을 얻는다.
|
||
~0.3714 0.524/ 0.1286 -0.03095/ '
|
||
{Qi} = -kl 0.009524/2 0.03905/ -0.007143/2 H
|
||
0.3714 -0.05238/ u3
|
||
0.009524Z∖l⅛J
|
||
/대신에 /∕2을 이 문제에 적용시키고 식의 좌측으로 옮기면, 보의 강성이 증가한다.
|
||
경우 2 보에 평행한 분포력 P(X)JX는 P(X)dx ∙ δw(x)의 가상일을 하고, 이 때 M(X)는
|
||
변형 XX)에 의한 수평방향 변위이다. 변위 W(X)는 변형된 보의 수평 투영된 위치와 X
|
||
축과의 차이와 같다.
|
||
U(X) — J (ClS — dx) = j dx ∖∣1 •+■ j - dx — J ∖ya dr
|
||
이 때 그은 X에 대한 가상변수이고 / = 砂/Jr이다. 그러므로 X의 가상변위는 다음과 같다.
|
||
δw(x) = f {δy'2dr
|
||
JO
|
||
여기서 피적분함수는 다음과 같이 해석되어질 수 있다:
|
||
오/2 = ；[(/ + 아')2 — /2]=/6/
|
||
그러므로 분포력에 대한 가상일은 다음과 같다.
|
||
δW = — [ P(X) f y,δy, drdx (10.8.4)
|
||
JO JO
|
||
y에 대하여 보함수의 항으로 대입하면 다음과 같다.
|
||
δw
|
||
Qi = —
|
||
P(X) φ'iφ,j drdx
|
||
I Jo
|
||
P(X) φ'φ- drdx
|
||
) JO
|
||
δw = - (10.8.5)
|
||
(10.8.6)
|
||
e
|
||
1
|
||
β
|
||
2
|
||
β3β4
|
||
Γ⅛⅜
|
||
⅛
|
||
⅞
|
||
|
||
|
||
362 ChaPter 10 유한요소법 입문
|
||
예제 10.8.2
|
||
I 회전 요소 여기서 관심이 있는 예제는 그림 10.8.2에 나타낸 각속도 ∩로 회전하는
|
||
≡ 헬리콥터 날개이다. 첫 번째 보 요소에 대하여 하중은 ∩2≡ 成이고, 식 (10.8.6)은 변
|
||
! 함없이 적용된다. 추가되는 요소에 대해서는, 보함수의 좌표와 확인하기 위하여 X좌표
|
||
I 는 새로운 요소의 시작지점부터 측정되어져야 한다. 요소에 작용하는 하중 은 단순히
|
||
I ∩2(Z,∙ + x)m 成이고, 여기서 I는 회전축에서부터 새로운 요소의 시작지점까지의 거리
|
||
I 를나타낸다.
|
||
이 곳에 나타낸 것은 하중 ∩2%m dx일 경우의 일반화된 힘이고, 그것은 첫 번째 요 ! 소에적용될수있다.
|
||
예제 10.8.3
|
||
한 개의 요소를 사용하여, 길이 Z이고 회전속도 ∩로 회전하는 헬리콥터의 운동 방정식
|
||
을 구하라. 날개는 회전축에 단단히 고정되어 있다고 가정한다.
|
||
OB 길이 /인 단일 요소에 대한 질량 및 강성항은 다음과 같다.
|
||
:vM/ - O
|
||
-
|
||
:;
|
||
어:
|
||
ς머
|
||
⅛
|
||
¾
|
||
3/
|
||
3/
|
||
-I-
|
||
2/
|
||
4/
|
||
2
|
||
3/
|
||
3/
|
||
54
|
||
13/
|
||
56
|
||
22/
|
||
2Z
|
||
4/
|
||
2
|
||
4
|
||
3/
|
||
5 1
|
||
56
|
||
22// - O
|
||
끄
|
||
42
|
||
|
||
|
||
ιo.8 변위에 비례하는 일반화된 힘 363
|
||
KV
|
||
회전에 의한 항은 식 (10.8.6)으로 주어진 일반화된 힘 e로부터 찾을 수 있다. 그 평가
|
||
를 위하여 포함되어진 적분식은 다음과 같다.
|
||
「/ [ φ,iφ,jldξ]ldξ
|
||
OLJO -
|
||
mΩ,2l I X I φ'iφ,j dr-dx — mΩ신
|
||
Jo JO
|
||
여기서
|
||
少； = (—6ξ+6ξ2)}
|
||
<p； = 1 - 4ξ + 3ξ2
|
||
<p； = (6ξ — 6ξ2) y
|
||
<P； = ~2ξ ÷ 3ξ2
|
||
이들을 앞의 적분식에 삽입함으로써, 우리는 다음의 결과를 얻는다.
|
||
' 0.4286 0.01429/ I -0.4286 0.6429/ 이 1
|
||
Q = -mQt2l __仏0나으 __ 0.05714/2 } -0.01429/ -Oiqo9524/
|
||
-0.4286 -0.01429/ 0.4286 -0.064297
|
||
0.06429/ -0.009524/2 ! -0.06429/ 0.02381/2 _ l¾J
|
||
= -mΩ2lHV
|
||
이제 운동 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
|
||
E///3의 우측항을 곱하고 나누어주고 그것을 좌측으로 옮김으로써, 우리는 다음 식을
|
||
얻게 된다.
|
||
⑴ 2ml EI
|
||
- = Mv+ Tr
|
||
K + —百-H V = O
|
||
또는
|
||
|
||
|
||
364 ChaPter 10 유한 요소법 입문
|
||
여기서
|
||
十
|
||
- A
|
||
행렬식으로부터 고유값과 고유 진동수는 다음과 같다.
|
||
A1 — 30.65
|
||
그리고 관련되는 고유 벡터와 고유 모드는 다음과 같다.
|
||
(1) (2)
|
||
02 =Φ↑ =
|
||
∩2 = 0인 경우에 단일 요소 해석에 대한 고유 진동수는 다음과 같다.
|
||
0.545
|
||
0.749
|
||
0.0807
|
||
0.615
|
||
경계조건이 vx = ex = 0일 때는 행렬의 우측하단 1/4 구역만 유지할 필요가 있다. 행렬
|
||
속의 L는 고유값과 고유 벡터를 풀이하는 경우 모두 무시한다는 것을 다시 기억함으
|
||
로써, 우리는 /= 1.0으로 둘 수 있다. 그러면 최종적인 운동 방정식은 다음과 같다.
|
||
이 식은 회전변수에 대한 수를 가정함으로써 고유값 X에 대하여 풀 수 있다. 만일
|
||
VMIEl= 1.0을 선택하면 다음과 같다.
|
||
El
|
||
mF
|
||
EI규?
|
||
物
|
||
沙 2
|
||
(156 - 12.43λ) -(22 - 6.064λ)
|
||
—(22 - 6.064Λ) (4 - 4.024A)
|
||
0.4286 -0.06429
|
||
-0.06429 -0.02381
|
||
156 -22
|
||
-22 4
|
||
ω2 = 34.81
|
||
12 -6
|
||
-6 4
|
||
M — λ K ÷
|
||
∑2 = 0.345 ω2 = 34.89 (브
|
||
_ 420E/
|
||
人 ω2ml4
|
||
'∩⅛z∕4'
|
||
. EI
|
||
ω∣ = 3.70
|
||
β2"지\』一 0
|
||
=H ^0
|
||
156 -22
|
||
-22 4
|
||
12.43 -6.064
|
||
-6.064 4.024
|
||
Lr-I = 3.53
|
||
|
||
|
||
ιo.8 변위에 비례하는 일반화된 힘 365
|
||
비교를 위하여 Ω = 0인 경우의 정확한 값을 구해 보자.
|
||
El
|
||
아 = 22.03시 쁘
|
||
ω1 = 3.515
|
||
이로부터 단일 요소 해석은 2차 모드에 대해서는 받아들일 수 없는 정확도를 낳는 것
|
||
을 알 수 있다. 단일 요소 해석에 대한 고유 벡터는 자유단에서의 처짐과 기울기를 나
|
||
타내는데 보는 다른 처짐을 나타내는 더욱 일반적인 고유 벡터와 비교되어질 수 없다.
|
||
Kl베lhl⅞⅜ 두 요소로 이루어진 보
|
||
I 만일 우리가 두 개의 균일한 영역으로 보를 나눈다면, I은 II= 대치되고, 두 번째 요
|
||
소에 대한 회전력은 다음과 같이 변화되어야만 한다.
|
||
p2U) =
|
||
이 때 일반화된 힘은 다음과 같다.
|
||
— m∩2/‘
|
||
0
|
||
- + Xy7l∩2 dx
|
||
0 2
|
||
' φ'iφ,j drdx +
|
||
0
|
||
I φ'iφ'j drdx
|
||
o
|
||
' φiφfj drdx
|
||
o
|
||
Q = mΩ2l I
|
||
JO
|
||
1/2 (I. (거*
|
||
rl∕2 rx
|
||
이 표현에 나타난 최종 적분은 /을 /∕2로 대치한 것을 제외하고는 단일 요소로 이루어
|
||
진 보의 적분과 동일하다. 이제 첫 번째 적분에 대한 값을 구하자. 운동 방정식을 수립
|
||
할 때, 행렬의 모든 /들을 니2로 바꿀 필요가 있다.
|
||
이제 우리는 다른 접근방법으로 각 요소의 길이를 Z로 같게 두는 방법을 제시하는
|
||
데, 그러면 보의 전체 길이는 2/이 된다. 이 방법은 각 요소의 행렬은 단일 요소로 이루
|
||
어진 보의 경우와 같게 두면 행렬내의 모든 /들은 그대로 /로 남아 있게 되어 계산시에
|
||
큰 절약이 되고, 이전과 마찬가지로 고유값 계산을 위하여 Z로 둘 수 있게 된다. 즉, 그
|
||
림 10.8.3에 보여주고 있는 문제를 풀게 된 것이다. 고유값이 결정된 다음, 우리는 고
|
||
유값에 대한 표현에서 /을 /∕2로 대치시키게 된다.
|
||
|
||
|
||
366 아IaPterlo 유한 요소법 입문
|
||
그림 10.8.3
|
||
| 구하려고 하는 새로운 적분은 다음과 같다.
|
||
m∩2/ JZj φ'iφ'jdrdx
|
||
그것은 적분을 수행하면 다음과 같게 된다.
|
||
^0.600 0 -0.600 0.1OOZ
|
||
0.100/2 0 -0.0166Z2
|
||
11 — m&L I
|
||
0.600 -0.100/
|
||
0.0333/
|
||
두 요소로 이루어진 보에 대한 행렬의 조립
|
||
두 요소로 이루어진 보에 대하여, 조립된 행렬은 6 X 6이다. 그러나 vi = θl = 0이기 때문에,
|
||
처음의 두 열과 두 행은 삭제되고 우리는 4 X 4행렬을 얻게 된다.
|
||
질량
|
||
ml
|
||
^ 156
|
||
22
|
||
54
|
||
22
|
||
4
|
||
13：
|
||
54-13 !
|
||
13 -3 :
|
||
156-22 ]54
|
||
156 22
|
||
420
|
||
-13 -3： -22 4
|
||
≡ 13
|
||
54 IZ 156
|
||
-13 -3 -22
|
||
= 0、
|
||
이 = 0
|
||
-13
|
||
-3
|
||
-22
|
||
4 k⅛ -
|
||
” 312 0 54 -13’
|
||
ml 0 8 13 -3
|
||
420 54 IZ 156 -22 아 3
|
||
-13 -3 -22 4_ l¾J
|
||
|
||
|
||
ιo.8 변위에 비례하는 일반화된 힘 367
|
||
강성
|
||
24 0 -12 6 오
|
||
0 8 -6 2
|
||
-12 -6 12 -6 沙 3
|
||
6 2 -6 4_
|
||
일반화된 힘 β에서의 첫 번째 적분으로부터 다음 식을 얻게 된다.
|
||
’ 0.8572 -0.0500 -0.4286 0.06429 ~
|
||
-0.0500 0.0810 -0.01429 -0.009524
|
||
-YF^ml
|
||
-0.4286 -0.01429 0.4286 -0.06429
|
||
0.06429 -0.009524 -0.06429 0.02391 _
|
||
2에서의 두 번째 적분으로부터 다음 식을 얻게 된다.
|
||
1.200 -0.100 -0.600 0.100 ~
|
||
-Cl2 ml -0.100 0.133 0 -0.0166
|
||
-0.600 0 0.600 -0.100
|
||
0.100 -0.0166 -0.100 0.0333 _
|
||
두 행렬을 합침으로써, 일반화된 힘은 다음과 같다.
|
||
2.057 -0.150 -1.029 0.10643
|
||
EI(tl2ml4∖ -0.150 0.2143 -0.01429 -0.0262
|
||
T( EI )
|
||
EIi= " 치
|
||
-1.029
|
||
0.1064
|
||
<ΩW∖
|
||
< EI )
|
||
-0.01429
|
||
-0.02612
|
||
HV
|
||
1.0286
|
||
-0.1643
|
||
-0.1643
|
||
0.0571
|
||
⑴ 3
|
||
Ld
|
||
이제 회전변수 Ω2m∕4∕E/에 대한 수치값을 선택하고 앞의 식을 강성행렬과 결합할 필요가
|
||
있다. 이것은 회전변수들의 0, 1, 2 및 4일 때 고유값과 고유 벡터에 대한 컴퓨터 결과를 구
|
||
하는 것으로 행해진다. 컴퓨터에 이식된 앞의 행렬들의 각 요소가 길이 /인 두 요소를 가진
|
||
보에 대한 결과이므로 고유값은 길이 2Z인 보에 대한 것이다.
|
||
고유값 표현의 조사를 하게 되면 각 요소가 길이 Z/2 인 길이 /의 보에 대해서는 ωz의 식
|
||
에 길이 /이 Z/2로 대치되어야만 한다는 것을 알 수 있다.
|
||
λ —
|
||
ω2m∕4∖
|
||
420 EZ/
|
||
I 420 EI
|
||
서而W
|
||
= 4 ml4
|
||
|
||
|
||
368 아IaPterlO 유한 요소법 입문
|
||
이 러한 변화와 함께 길이 /인 두 요소로 이루어진 보의 서와 고유 진동수에 대한 컴퓨터 결
|
||
과는 표 10.8.1 에 나타나 있다. ∩ = 0인 경우가 참값과 비교되었고, 그로부터 처음 두 모드
|
||
에 대하여 그 결과가 아주 우수함을 나타내주고 있다.
|
||
표 10.8.1 길이 /인 회전하는 두 9소루 이루어진 보의 컴퓨터 결과
|
||
EI / 길이 2/인 보의 사
|
||
∕420Sλz
|
||
ωz∕4y ml2 참값
|
||
1 0.001841 3.51 3.515
|
||
0 2 0.07348 22.22 22.034
|
||
3 0.84056 75.15 61.697
|
||
4 7.08106 218.1 120.9
|
||
1 0.0035169 4.861
|
||
1 2 0.08445 23.82
|
||
3 0.86754 76.35
|
||
4 7.13759 219.0
|
||
1 0.0049532 5.77
|
||
2 2 0.095627 25.35
|
||
3 0.8947349 77.54
|
||
4 7.19323 219.8
|
||
1 0.0103809 8.35
|
||
4 2 0.158008 32.58
|
||
3 1.04317 83.72
|
||
4 7.83817 229.5
|
||
PhOtO credit： QiaO qiming / AP NeWS
|
||
그림 10.8.4 로빈손 헬리콥터 모델 R22(날개 폭 7.2 in, 길이 151 in； 약 1 S의 주기를 가진 외팔보; 적재
|
||
시 총무게 1370 lb； 날개 선단속도 599 ft∕s)
|
||
|
||
|
||
참고문헌 369
|
||
그림 10.8.4와 10.8.5에는 다음 크기의 두 가지 헬리콥터를 나타내었다. 그림 10.8.4에
|
||
보여 지고 있는 것은 로빈손(RObinSon) 헬리콥터 모델 R22 이며 주로 레저용 비행에 사용
|
||
되는 작은 2좌석 기종이다. 사진에 함께 표시된 숫자는 그 규격과 크기를 나타낸다.
|
||
반면에, 그림 10.8.5에 나타난 상업용 헬리콥터는 해변과 오일 작업대 사이에 재료와 작
|
||
업자를 운반하는 데 사용되는 최대 하중 6000 lbs> 수송할 수 있는 능력을 가진 큰 기종이
|
||
다. 모든 헬리콥터에서처럼 로터의 회전날개는 매우 유연하다. 그 회전속도는 날개 끝의 속
|
||
도가 음속보다 낮게 유지되는 요구조건에 의하여 제작된다.
|
||
그림
|
||
오일 승강장용 상용 헬리콥터(날개 폭 24 in, 길이 24 ft, 무게 각각 200 lb； 외팔보의 강성
|
||
은 선단에서 6 ft/100 Ib임; 헬리콥터의 총무게는 빈 상태일 때 7000 Ib이고 적재시 13,000 Ib임)
|
||
11] COOK, R.D., COnCePtS and APPliCatiOnS Of Finite Element AnaIySis, NeW York: JOhn
|
||
WiIey & Sons, 1974.
|
||
[2] GALLAGHER, R.H., Finite Element AnalySiS FUndamentaI, EngIeWOOd Cliffs, NJ:
|
||
PrentiCe-Ha11, 1975.
|
||
[3] , K.C., EVANS, HR., GRlFFlTH, D.W., AND NETHEROOT, D.A., The Finite
|
||
Xul
|
||
즈V / U O P
|
||
3으UO
|
||
PJo
|
||
누XnP
|
||
dp∣ :七Paj【3 OjOqJ
|
||
|
||
|
||
370 아IaPterIo 유한요소법 입문
|
||
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|
||
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[5] WEAVER, W., AND JOHNSTON, P.R., StrUCtUral DynamiCS by Finite Elements,
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|
||
Hill, 1975.
|
||
[7] CRAIG, R.R. JR., StrUCtUral Dynamics, JOhn Wiley & Sons, 1981.
|
||
10.1 한 쪽 끝단은 고정되고 다른 쪽은 자유이며, 사이지점이 고정단에서부터 Z/3인
|
||
지점에 있는 두 요소로 이루어진 균일봉에 대한 축방향 진동에서 두 고유 진동
|
||
수를 구하라. 그 결과를 사이지점이 중간에 선택되어진 경우와 비교하라. 지점의
|
||
위치의 선정과 관련하여 당신은 어떠한 결론에 도달하는가?
|
||
10.2 그림 P10.2와 같이 테이퍼진 봉이 두 개의 균일 단면으로 모델링되었으며, 여기
|
||
서 E41 = 2EA2 및 m1 = 2m2이다. 길이방향 진동의 두 개의 고유 진동수를 구하라.
|
||
서 W1,2771 α2, TnZ
|
||
U.— t/2 —~∙L— 1/2 ———』
|
||
그림 PIO.2
|
||
10.3 각각 길이 /인 세 개의 축방향 요소를 사용하여, 길이 Z/3인 균일봉의 자유-자유
|
||
진동에 대한 식을 수립하라.
|
||
10.4 균일축의 비틀림에 있어서 선형적 변화를 가정한 후, 비틀림 문제에 대한 유한
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요소강성 및 질량행렬을 구하라. 이 문제는 축진동 문제와 동일하다.
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10.5 두 개의 동일한 요소를 사용하여, 비틀림 진동에서 고정-자유축의 초기 두 개의
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고유 진동수를 구하라.
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10.6 비틀림 진동에서 두 개의 균일 단면인 경우에 대하여, 2자유도 집중질량 비틀림
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계와의 유한 요소 관련식을 서술하라.
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10.7 그림 P10.7은 큰 쪽은 고정단이고, 다른 쪽은 자유단인 일정 두께를 가진 원뿔
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연습문제 371
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형의 관을 보여준다. 한 개의 요소를 사용하여 그의 길이방향 진동에 대한 식을
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구하라.
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10.8 그림 P10.7의 관을 길이방향 진동에 있어서 동일 길이의 두 요소로 이루어진 문
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제로 간주하여 식을 구하라.
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10.9 비틀림 진동에서 그림 P10.7의 관에 대하여 (a) 두 요소 (b) M단계의 균일 요소
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를 사용하여 식을 구하라.
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10.10 그림 P10.10의 단순 구조는 단순지지된 결합부를 가지고 있다. 그 강성행렬을
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구하라.
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그림 Pio?. 11
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10.11 단순지지된 트러스 그림 P10.ll에서 핀 ③은 고정되어 있다. ①의 핀은 수직통
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로로 자유로이 움직일 수 있고, ②의 핀은 수평통로로만 움직일 수 있다. 만일 그
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림에서와 같이 핀 ②에 힘 P가 작용한다면, W2와 Vl를 P의 항으로 구하라. 핀 ①,
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② 및 ③에서의 모든 반력을 계산하고 평형조건이 만족되는지를 조사하라. 유한
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요소법에 의하여 강성행렬을 인자 EAII로 유도하라.
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10.12 그림 P10.12에 보인 핀으로 연결된 사각 트러스에서, 전체 좌표로 요소강성과
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질량 행렬을 결정하고, 전체 구조에 대하여 행렬들이 만들어지는 방법을 보여라.
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동행렬을 구성하라. 이것을 이용하여 이 구조에 대한 자유진동의 고유 진동수를
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구하라.
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372 아IaPterIo 유한요소법 입문
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10.15 문제 10.14의 보에 대한 일관된 질량을 구하고 그 고유 진동수를 계산하라.
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10.16 그림 P10.16의 보에 대한 자유진동 방정식을 구하라.
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그림 P10.17
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10.17 한 개의 요소를 사용하여 그림 P10.17의 단순지지-자유보에 대한 운동 방정식,
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고유 진동수 및 모드 형상을 구하라. 참값과 비교하라.
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10.18 문제 10.17을 두 개의 요소를 사용하여 반복하라.
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그림 P10.13
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10.13 그림 P10.13의 단순지지된 트러스에서, 요소의 방향은 오직 세 개이다. 각 방향에
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대한 강성행렬을 구하고, 전체계로 각각의 요소행렬들이 조립되는 빙법을 써라.
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10.14 두 개의 요소를 사용하여 양단이 고정되고 그림 P10.14와 같이 하중이 가해지는
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균일보의 중간 지점에서의 처짐과 기울기를 구하라.
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½
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쇼
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쇼
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으
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、2//
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그림 P10.14
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연습문제 373
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10.19 문제 10.17을 여섯 개의 요소를 사용하여 반복하라. 참값과의 일치가 많은 수의
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요소를 사용하면 향상되는가?
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10.20 그림 P10.20의 프레임에 대한 강성행렬을 구하라. 우측상부 끝단은 회전은 제한
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되어 있지만 들어가고 나가는 것은 자유롭다.
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그림 P10.21
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10.21 그림 P10.21 의 프레임은 우측상부 끝단에서 회전과 이동이 자유롭다. 그 강성행
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렬을구하라.
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10.22 그림 P10.22의 프레임에 대한 하중 작용점에서의 변형과 기울기를 구하라. 이
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때 코너 각은 불변이라 생각하라
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10.23 문제 10.17의 단순지지-자유보가 그림 P10.23에서와 같이 단순지지 지점에서
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비틀림 강성 尺Ib ∙ in/rad인 스프링에 의하여 제한되어진다. 자체의 정지된 무게
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에 의하여 보가 1/10회전하도록 수치적인 尺값을 구하고, 문제 10.18에 있는 것
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374 ChaPter 10 유한 요소법 입문
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과 같이 계산하라（이 때 한 개 및 두 개 요소를 사용하고 Smgii/EI= 1.0으로 한다）.
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EI
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그림 P10.23 그림 P10.24
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10.24 그림 P10.24에는 중간 지점에 선형 스프링 느를 가지고 우측 끝단에 비틀림 스프
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링 尺를 가지는, 단순지지된 끝단을 가진 보가 나타나 있다. 두 요소 해석에 대한
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강성행렬을 구하라.
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10.25 문제 10.24의 보에서 질량행렬을 구하고, 다음 식과 같을 때 모든 고유 진동수
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및 모드 형상을 구하라.
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kl3
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~EΛ
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= ； 그리고 쓸; =》2
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k = 尺 =0이라둠으로써 문제 10.24의 해를 점검하라. 이 때 고유값은 단순지지-
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단순지지보의 고유값과 일치해야 한다.
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10.26 그림 P10.26 의 보에 대하여 유한 요소 운동 방정식을 구하라. kf∕*I= 1.0 및
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KI3∕EI=2f 일 때의 보의 고유값과 고유 벡터를 구하라.
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10.27 그림 P10.27의 프레임에 대한 자유진동 방정식을 구하라.
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그림 PIOA27
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연습문제 375
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10.28 두 개의 요소를 사용하여, 그림 P10.28(a)에 보인 구간에 대하여 분포된 힘에 대
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한 등가 결합부 하중을 구하라. 그림 P10.28(b)의 구간에 대하여 중간 지점에서
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의 처짐과 기울기를 구하라.
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10.29 그림 Plo.29의 계에서 주어진 여섯 개의 좌표의 항으로 두 요소 식을 쓰고 고유
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값과 고유 벡터를 구하라.
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IZl 化 匕
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사、 成木 =' <h⅜
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p—7 1 Il Mllll .
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t W心。 1
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P------ 1/2. ------- ---------1/ 2 ------- η
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=가=====tew
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그림 P10.29
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10.30 그림 PIO.29의 계에서, 자유진동에 대한 대칭 모드는 3 × 3 식으로 줄어들게 됨
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을 보여라. 이 문제에 대한 질량 및 강성행렬을 구하고 고유 진동수와 모드 형상
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을 계산하라.
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10.31 예제 10.5.1 에서 4 × 4 보에 대한 고유값과 고유 벡터를 계산하라.
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10.32 그림 P10.32의 균일보는 보의 우측 반쪽 면에서 단위길이당 —幻(X)의 구속력을
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작용시키는 탄성지지 위에 지지되어 있다. 두 개의 요소를 사용하여 운동 방정
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식을 유도하라. IdiI용EI= 10으로 둠으로써 고유 진동수를 구하고, 이를 탄성지
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그림 P10.32
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376 아IaPterlo 유한 요소법 입문
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지가 없는 경우와 비교하라. 처음 두 개의 모드에 대한 모드 형상을 그려라.
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10.33 좌측단이 고정지지 대신 단순지지되었다고 가정한 후 문제 10.32를 반복하라.
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10.34 그림 P10.34는 수직축 0-0 주위로 각속도 Ω rad/s로 선회하는 원심 분리기의
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“L”자형 보를 나타내고 있다. 표시된 지점들을 사용하여, 운동 방정식과 그의 고
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유 진동수를 구하라. 이를 ∩ = 0인 경우와 비교하라.
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10.35 비틀림 스프링을 가진 단순지지-자유보가 그림 P10.35에 보인 것과 같이 수직축
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에 대하여 회전하고 있다면, 길이 /∕2인 첫 번째 요소에 대하여 새로운 강성행렬
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을구하라.
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10.36 그림 P10.35의 헬리콥터 날개에 대하여, 날개의 바깥 반쪽에 대한 강성식을 구
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하라:
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10.37 그림 P10.35의 두 요소로 이루어진 날개에 대한 완전식을 쓰고, 고유 진동수와
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모드 형상을 구하라.
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10.38 그림 P10.38과 같이 주어진 세 개의 요소로 모델링되는 균일 외팔보에서, 강성
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행렬은 6 X 6차원이다. 강성행렬을 재정리하여, 3 × 3 저감 강성행렬를 比*를 구
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하고, 고유값과 고유 벡터를 계산하라. 그 결과를 문제 8.15의 것과 비교하라.
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3
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炎=洪
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그림 PlO.38
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연습문제 377
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10.39 문제 10.38을 저감 강성 및 상당 저감 질량을 사용하여 반복하라. 가정한 3 X 3
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"1 0 0"
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질량행렬 Al = m/ 0 1 0 와 비교하라.
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.0 0 .5j
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10.40 문제 10.2를 다음 값: A2= 1, £= 1, /= 1 및 짜= 1 을 사용하여 반복하라. 각각
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의 두 요소를 균일봉으로 생각하라. 각각의 봉을 네 개의 요소로 모델링하라. 길
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이방향 진동에서 고유 진동수를 비교하라.
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10.41 예제 10.5.1 에 나타난 보의 자유진동을 /= 12, m=l, E=I 및 /= 1 의 값을 사
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용하여 계산하라. 이 계산을 여섯 개의 균일 간격 요소를 사용하여 계산하라.
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10.42 그림 P10.42와 같이 끝단에 질량을 가지고, 질량에 스프링 및 감쇠계가 부착된
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2단계 단면적을 가진 막대를 생각하자. 길이방향 진동에 대한 운동 방정식을 구
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하라.
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m
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⅛
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그림 P10.42
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10.43 그림 P10.43에 보여진 계에 대한 운동 방정식을 구하라. 가운데 보의 굽힘 강성
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은 다른 두 보의 것과 다르다. y1 =y2 = 北인 해가 가능한가? 그러한 해가 존재할
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조건은 무엇인가?
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τ777777777v7777777v77y
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k↑ k2
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그림 P10.43 |